İleri düzey derslerde ileri matematik okuyan birçok öğrenci muhtemelen merak ediyordu: diferansiyel denklemler (DE) uygulamada nerede kullanılıyor? Kural olarak, bu konu derslerde tartışılmamaktadır ve öğretmenler, öğrencilere gerçek hayatta diferansiyel denklemlerin kullanımını açıklamadan hemen kontrol teorisinin çözümüne geçmektedir. Bu boşluğu doldurmaya çalışacağız.
Bir diferansiyel denklem tanımlayarak başlarız. Dolayısıyla, bir diferansiyel denklem, bir türev fonksiyonunun değerini fonksiyonun kendisi, bağımsız bir değişkenin değerleri ve bazı sayılarla (parametreler) ilişkilendiren bir denklemdir.
Diferansiyel denklemlerin uygulandığı en yaygın alan, doğal olayların matematiksel tanımıdır. Ayrıca, bir süreci tanımlayan bazı değerler arasında doğrudan bir ilişki kurmanın imkansız olduğu problemleri çözmede kullanılırlar. Bu tür görevler biyoloji, fizik ve ekonomi alanında ortaya çıkar.
Biyolojide:
Biyolojik toplulukları tanımlayan ilk önemli matematik model Lotka-Volterra modeliydi. Etkileşen iki türün bir popülasyonunu tanımlar. Bunlardan ilki yırtıcı olarak adlandırılır, ikincinin yokluğunda x '= –ax (a> 0) yasasına göre ölür ve ikincisi ise yırtıcıların yokluğunda Malthus yasasına göre sınırsız çoğalır. Bu iki türün etkileşimi aşağıdaki gibi modellenmiştir. Mağdurlar, bu modelde her iki popülasyonun sayısıyla, yani dxy'ye (d> 0) eşit olduğu varsayılan yırtıcı ve mağdurların karşılaşma sayısına eşit bir oranda ölmektedir. Bu nedenle, y '= by-dxy. Yırtıcılar, yenen av sayısıyla orantılı bir oranda çoğalırlar: x '= –ax + cxy (c> 0). Denklem sistemi
x '= -ax + cxy, (1)
y '= by - dxy, (2)
böyle bir popülasyonu tanımlayan bir avcı, bir avdır ve Trays - Volterra sistemi (veya modeli) olarak adlandırılır.
Fizikte:
Newton’un ikinci yasası diferansiyel denklem şeklinde yazılabilir
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), burada m, vücudun kütlesi, x, koordinatıdır, F (x, t), t zamanında x koordinatı ile vücuda etki eden kuvvettir. Onun çözümü, belirtilen kuvvetin etkisi altında vücudun yörüngesidir.
